El cálculo medieval de la longitud geográfica y la ciencia islámica

Por José Antonio Hurtado García
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En el presente artículo José Antonio Hurtado explica el sistema de cálculo de la longitud geográfica que desarrolló la cultura Islámica Medieval. El interés del artículo reside en que dicho sistema se perdió en la Edad Moderna y desde entonces siempre se ha tenido como imposible que existiera dicho cálculo.

     El artículo, esencialmente científico, puesto que estamos hablando de ciencia Islámica, y que puede ser de difícil lectura para la mayoría de lectores que no conozcan algo de trigonometría, es, no obstante, de interés general para conocer hasta donde llegaron los conocimientos de una cultura que fue capaz de realizar cálculos que todavía hoy en día se dan como "imposibles".
 

 

Introducción

El tema de la navegación Antigua y Medieval es un tema realmente confuso debido a la cantidad de conocimientos diversos que exige, y a la necesidad de situar en cada época el nivel de conocimiento existente, y además se parte siempre de una falsa premisa en la que llega a caer hasta mi admirado Julio Rey Pastor:

“Por tanto, los círculos paralelos de la esfera, por se ortogonales a los meridianos, es decir, líneas de viento 90º”[1]

Esa premisa es falsa, los paralelos no son perpendiculares a los meridianos; dado un meridiano y un paralelo cualesquiera son perpendiculares los planos que contienen a las sendas curvas, pero no son perpendiculares las propias curvas entre sí[2], lo que significa que si situamos una Rosa de los Vientos en la intersección del meridiano con el paralelo, orientando la dirección SN de la Rosa con la dirección del meridiano, la dirección WE que nos marca el instrumento náutico no es la del paralelo. Este error que tiene su origen en el Renacimiento se lleva repitiendo más de 500 años sin que ningún matemático, astrónomo, marino, o cualquiera que posea los conocimientos necesarios para descubrirlo se halla percatado, y sin embargo era una premisa que tanto la ciencia Antigua como Islámica tenían perfectamente clara.

¿Cuál es la curva perpendicular a un meridiano por uno de sus puntos?. Tomemos el plano que define al meridiano, nos corta al plano del Ecuador según una recta, y ambos planos son perpendiculares, por el centro de la esfera trazamos una perpendicular al plano del meridiano y que esté contenida en el plano del Ecuador, dicha recta nos cortará al Ecuador en dos puntos P y P’ (Fig.-1) situados exactamente 90º a la derecha y a la izquierda de la intersección del meridiano con el Ecuador. El círculo máximo de la esfera que pasa por los puntos P, P’ y el punto del meridiano donde nos hemos situado, es la línea perpendicular al meridiano en dicho punto; eso significa que para un meridiano dado el Este y el Oeste son dos puntos fijos situados sobre el Ecuador y a 90º de la intersección de éste con el meridiano de referencia, y no una dirección hacia el infinito como se asume con la interpretación tradicional de que paralelos y meridianos son perpendiculares. En definitiva, una navegación hacia el Este o hacia el Oeste partiendo desde un punto cualquiera no es una navegación en el sentido del paralelo que pasa por el punto de partida, si no una navegación que sigue una línea perpendicular al meridiano que pasa por el punto inicial. Como se ve la diferencia es fundamental y muy significativa en el caso del Primer Viaje Colombino.

La navegación

Desde un punto de partida (que llamaré O en adelante) situado sobre un meridiano, la circunferencia que pasa por O, P y P’ es una línea que en matemáticas se llama ortodrómica y que es la curva que une O con P haciendo que la distancia sea mínima. El resto de Vientos de la Rosa forman con dicha curva ángulos constantes y se obtienen girando el plano que contiene a la circunferencia que pasa por O, P y P’ alrededor del eje O y su opuesto en el meridiano O’ el numero de grados que forma el viento, de tal forma que cuando lo giramos 90º obtenemos nuevamente el meridiano(Fig.-2). Por tanto los Vientos marcados por la Rosa son direcciones ortodrómicas sobre la superficie de la Tierra.

Fue Nunes en el siglo XVI quien partiendo del error señalado estableció que los vientos cortaban a los meridianos con ángulos constantes y que por tanto la curva que se seguía al seguir la dirección de los vientos era una loxodrómica, y todavía en el lenguaje marinero el rumbo por definición es el ángulo que forma el eje de crujía de la nave con el meridiano local, y se navega (o se intenta navegar) a rumbo constante. Otra situación distinta es que la brújula marcando el norte magnético facilite la navegación a rumbo constante manteniendo el ángulo que forma el eje de la nave con el meridiano magnético. Todo esto era conocido perfectamente por la cultura Islámica y las malas traducciones de Regiomontano y sus discípulos así como errores como el que acabo de revelar han hecho que haya llegado hasta nuestro días el mito de que el cálculo de la longitud geográfica en el Medievo era imposible; voy a demostrar como la matemática generada por el mundo musulmán lo hizo posible.

Vamos a suponer una embarcación que parte desde un punto O y va a navegar a rumbo constante manteniendo siempre el mismo ángulo de intersección que vamos a suponer con el meridiano magnético local, a lo largo del día, el piloto con su experiencia va determinando las velocidades de la nave cuando lo cree conveniente mediante la cuerda de nudos o cualquiera de las salmodias conocidas desde antiguo, de forma que al caer el Sol y merced al tiempo medido por ampolletas puede estimar la distancia navegada, (a la que llamo d) pero además, justamente en la puesta del Sol, o en el amanecer puede determinar exactamente el ángulo que forma el eje de la nave con el meridiano local ( w, más adelante explicaré como), aunque para ello necesita determinar la latitud mediante el astrolabio o el cuadrante y la situación de una estrella visible y conocida. Con todos estos datos medidos (latitud) y estimados (distancia navegada y ángulo constante de la navegación), el piloto asimila que ha navegado siguiendo una ortodrómica en vez de una loxodrómica (lo que se viene haciendo desde hace centurias), y tiene el triángulo esférico que se señala en la Fig.-3. Llamando l a la diferencia de longitudes entre los dos meridianos, las ecuaciones de la trigonometría esférica conocidas desde Menelao (finales del siglo I) nos dicen que:

Obvio es explicar aquí que fueron los musulmanes los que expresaron la relación descubierta por Menelao en la forma que está escrita más arriba, pero también descubrieron la forma de resolverla directamente a través del álgebra clásica derivada de Euclides sin necesidad de acudir a las famosas Tablas Trigonométricas y ni muchísimo menos a los logaritmos como afirma algún que otro tratadista.

La solucion islámica a la relación de menelao mediante el álgebra euclidiana

La matemática Islámica fue la que desarrolló lo que hoy conocemos como funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente y sus inversas) partiendo de las relaciones entre la longitud de un arco de circunferencia y el segmento de cuerda que une los extremos de dicho arco. El cociente de ambas longitudes ya fue desarrollado por Ptolomeo en el siglo II de nuestra era y calculó unas Tablas en las que la longitud del arco se medía en grados, y aumentando dicha longitud de medio en medio grado hallo su cociente con el segmento de cuerda correspondiente con una precisión de siete cifras decimales exactas.

Los matemáticos árabes tuvieron la gran genialidad de definir lo que hoy se conoce con el nombre de “líneas trigonométricas” que permitían representar las funciones definidas como segmentos en relación con el arco, definidas todas ellas sobre una circunferencia de radio unidad lo que hace que la longitud del segmento sea exactamente igual al valor de la función. En la Fig.-4 se puede ver el arco AB, si tomamos la línea OA como eje de simetría y trazamos los simétricos del mencionado arco, y de la recta BC la relación entre la longitud del arco y de la cuerda es el desarrollo de las Tablas Ptolemaicas que ya he comentado, pero el cociente entre ambos es idéntico al cociente entre el semiarco (que es el representado como AB) y la semicuerda AC.

Se define como:

AC = seno del arco AB

OC = coseno del arco AB

AD = tangente del arco AB

FE = cotangente del arco AB

OD = secante del arco AB

OE = cosecante del arco AB

En esta forma fueron definidas inicialmente las líneas trigonométricas, como representación de las funciones del mismo nombre, en función de la longitud del arco, de ahí que las funciones inversas (incluso hoy en día) comiencen como arco cuyo seno, coseno, tangente es...

Más adelante, en el Renacimiento se llegará a la igualdad de que el arco es equivalente al radio por el ángulo, y como las líneas trigonométricas se han definido en la circunferencia de radio unidad tendremos que:

a = 1 x arco AB = arco AB

Con lo que las ecuaciones de más arriba quedarían en su forma actual:

AC = sen a

........

Reemplazando el arco por el ángulo, así que ahora, conociendo el significado de las líneas trigonométricas podremos resolver la ecuación:

                             

Ecuación que también podemos escribir como:

                                        

Como conocemos los ángulos a, rumbo estimado para la navegación, CB Complementario de la latitud (también llamada colatitud) del punto de medición, y el arco navegado d, podremos resolver la ecuación. Se puede ver que estoy asimilando el arco navegado a los ángulos pero es que otra de las grandes genialidades de los matemáticos y astrónomos musulmanes fue la de establecer el radio de la Tierra como unidad, con lo que la geometría esférica tenía como equivalentes los arcos y los ángulos y todos se medían utilizando el sistema sexagesimal que Ptolomeo introdujo de los Babilonios.

La Fig.-5 nos va a ayudar a resolver el problema; suponemos que se parte desde el puerto O con la dirección Sueste 4ª del Este, tras una jornada completa de navegación el piloto ha determinado el ángulo de navegación media a desviado del rumbo original debido a vientos y corrientes, sobre un cuadrante como el de la figura traza el ángulo y obtiene los puntos A y A’; la medida de la latitud nos proporciona el valor de la colatitud CB que llevado al cuadrante permite trazar los puntos C y C’; por último la estimación de la distancia d transportada así mismo al cuadrante permite dibujar los puntos D Y D’. Teniendo en cuenta todo lo explicado sobre las líneas trigonométricas la ecuación de más arriba la podemos escribir como:

                                        

La ecuación trigonométrica se ha transformado en una ecuación algebraica euclidiana que nos dice que la razón del segmento desconocido OX al segmento D’D es la misma que la razón entre los segmentos OA’ y CC’, la resolución de dicha igualdad utilizando los elementos clásicos se puede contemplar en la Fig.6.

Se prolonga la recta A’A en la dirección Sur y por el punto C se traza una perpendicular a dicha recta prolongada hasta que ambas se corten en el punto C” , cumpliéndose la igualdad entre los segmentos A’C” y CC’. El punto C” se une con el origen O y desde el punto D se traza una perpendicular a la recta AA’ de forma que nos corte a la recta OC” en el punto D”. Por D” se traza una paralela a AA’ que nos corta al eje horizontal en el punto X y a la circunferencia en un punto no nominado. El segmento D”X será igual al segmento D’D; aplicando el Teorema de Tales tenemos que:

                                         

Que teniendo en cuenta las igualdades reseñadas anteriormente y sustituyéndolas en dicha ecuación nos dan:

                                        

Que es la ecuación que queríamos resolver, por tanto, el arco señalado en la figura 6 como l nos da el valor de la longitud en el punto donde se ha medido la latitud, con lo que queda perfectamente demostrado que la ciencia Islámica era capaz de resolver el problema del cálculo de la longitud perfectamente y de acuerdo con la más pura tradición matemática griega, la búsqueda de la solución a dicho problema arranca a mediados del siglo XVI con una competencia entre Nunes y Santa Cruz lo que prueba que la solución era desconocida por el pleno de la Cristiandad y únicamente algunos elementos concretos de ella fueron en su tiempo capaces de conocerla (Cristóbal Colón es un caso), y a lo largo de todos estos siglos ningún tratadista pasando por Newton, Gauss o Rey Pastor dieron con ella.

Como se ha podido comprobar he tomado deliberadamente un valor de d pequeño con lo que se ha obtenido un valor de l también pequeño, ¿por qué?, para poner en evidencia las dificultades del método cuando se trabaja con él en navegaciones reducidas y para poner nuevamente de relieve la diferencia entre el Islam y la Cristiandad, el profesor Laguarda Trías afirma que:

“El control dimensional inferior al medio centímetro era desconocido en la Edad Media....

.... los cartógrafos medievales se veían en figurillas para representar las 10 millas mediante espacios del orden de los tres milímetros.”[3]

Pero el admirado profesor no ha hecho mas que estudiar pergaminos y se ha olvidado que el mundo musulmán utilizó el papel cuyas técnicas de producción importó desde China desde los primeros tiempos, y así Játiva tenía una fábrica en los tiempos del califato de Córdoba capaz de abastecer las necesidades de Al Andalus, y trabajando con papel se podía lograr en el mundo islámico la misma precisión con la que podían trabajar los delineantes sobre el tablero de dibujo a mitad del siglo XX, lo que no quiere decir que para ángulos pequeños el sistema proporcione una precisión razonable, pero desde luego tenían formas de resolver estos casos.

Tras un período de navegación un piloto musulmán experimentado, y debidamente formado estaba en condiciones de conocer con bastante aproximación su posición en el sistema que actualmente llamamos de longitud y latitud, pero su problema era ¿qué rumbo debía dar al timonel para el siguiente período de navegación?; es lo que se llama “el problema del navegante”, y por supuesto que conocía la solución.

 

El problema del navegante

Anteriormente he supuesto que la nave se dirige a un punto concreto F desde el origen O y que la línea OF es el viento Sueste 4ª al Este, transcurrido el primer período de navegación se ha alcanzado el punto B del que conocemos la diferencia de longitud con respecto al meridiano inicial que pasaba por O; si en el punto B se conoce el ángulo w que el eje de la nave forma con el meridiano local, al conocer el ángulo l del meridiano local con el de partida, se conoce la dirección del eje de la nave con respecto al meridiano de partida, y por tanto el rumbo que se debe de dar al timonel para el siguiente período de navegación de forma que la proa se oriente directamente hacia F, puerto de destino. Así que es necesario resolver el problema de determinar el ángulo del eje de crujía con el meridiano local, (cuestión que ya había enunciado anteriormente y cuya solución pospuse) para resolver el problema del navegante.

Vamos a situarnos mentalmente en medio del mar con la nave; a nuestro alrededor observamos un horizonte que parece plano y está a punto de amanecer, sabemos que el Sol va a salir aproximadamente por el Este, pero eso es así únicamente los días equinocciales, esos dos días el Sol sale exactamente por el Este y se pone sobre el Oeste y el Sur queda exactamente 90º a la derecha del punto del nacimiento, ese arco que se llama azimut tiene justamente ese valor; pero si estamos pasados varios días el equinoccio de otoño (por ejemplo) el azimut en el momento del nacimiento solar es menor de 90º, y el astro sale en un punto más próximo al punto Sur; si el día es pasado el equinoccio de primavera el punto de salida se “aleja” del Sur y el azimut vale más de 90º.

Conocido el día en relación con el día del equinoccio el punto exacto por donde sale el Sol (o por donde se pone) es función de la latitud del punto de observación, al igual que la declinación que podemos considerar como el ángulo que forma el plano del Ecuador con el plano que pasando por el centro terrestre pasa a su vez por los puntos del horizonte por donde sale y se pone el Sol. Estos parámetros de fecha, declinación, latitud y azimut se encuentran relacionados entre sí; en primer lugar una curva que recibe el nombre de analema nos permite conocer la declinación en función de la fecha, con base en la mencionada cúrvale “astrolabio analemático”, instrumento musulmán del siglo X permitía efectuar la corrección de la altura de un astro sobre el horizonte trasformándola en altura del astro sobre el Ecuador, la segunda relación entre los parámetros mencionados es una ecuación descubierta por los astrónomos musulmanes que los navegantes conocen perfectamente y que expreso aquí para los momentos de la salida o puesta del Sol:

                             

Por lo tanto, al anochecer o al atardecer se mide la latitud, sabiendo los días transcurridos desde el último equinoccio la analema nos da el valor de la declinación y sabemos si el Azimut debe ser mayor o menor de 90º, y resolver la ecuación anterior es exactamente igual que resolver la ecuación que nos daba el valor de la longitud, se utiliza el mismo sistema, con lo que conocemos para la posición de nuestra nave el ángulo que va a formar el Sol con el meridiano local cuando salga tras el horizonte, así que en el momento que el astro está a mitad de su “salida” podemos determinar exactamente la dirección del meridiano local, y ángulo que forma el eje de la nave con respecto a dicho meridiano; al ser conocido el ángulo del meridiano local con el meridiano de partida estamos en condiciones de dar el rumbo de timonel para aproar en la dirección debida con respecto al meridiano de salida y continuar nuestra navegación.

Parece un poco complicado recurrir a éste sistema si la nave lleva una brújula, pero éste sistema garantiza que se navega siempre con respecto al meridiano geográfico de partida y se obvia el problema de la declinación magnética, y como se puede leer en el “Diario” colombino los días 13 y 17 de septiembre el Almirante el Almirante marcó el norte al anochecer y al amanecer, señal que él sabía como corregir el problema, y es además una constante de dicha narración dar las distancias navegadas por el día y por la noche lo que le permitiría utilizando éste sistema navegar siempre con rumbos constantes respecto al meridiano origen, siendo ese uno de los secretos que mejor guardaba pues en su época y posterior esa forma de navegar se perdió totalmente, de ahí las continuas alabanzas que a lo largo del tiempo  ha recibido el “genial marino” que siempre sabía encontrar el rumbo exacto para dirigirse a cualquier puerto.

Un último detalle es saber que la posición del Sol en el amanecer y en el anochecer es una posición aparente debida a la refracción de los rayos solares en la atmósfera, pero ya Ptolomeo tiene un tratado de óptica donde intenta deducir las leyes de la refracción para poder situar correctamente la declinación, en la Cristiandad fue Roger Bacon quien continuo con dicho estudio, pero la ciencia islámica fue nuevamente la que sentó las bases de su desarrollo.

 

Conclusiones

Sobre el plano del horizonte N, S, E y W  son direcciones ortogonales, y sobre la superficie de la Tierra también, pero la dirección EW no está contenida en el paralelo local, lo que quiere decir que cuando se establece una proyección conforme entre los rumbos de la Rosa de los Vientos sobre el horizonte, y los mismos rumbos sobre la superficie de la Tierra, los puntos de igual latitud que el punto origen no están alineados según la dirección WE del plano, y los puntos que están sobre un mismo meridiano tampoco están situados según una recta perpendicular a dicho eje.

Todo esto es perfectamente detectable en la cartografía medieval de los llamados “portulanos” donde la línea del paralelo 36 que une el estrecho de Gibraltar con Rodas forma siempre un ángulo con la dirección WE, tal y como es detectable en el plano de Juan de la Cosa al que según los testigos de los Pleitos Colombinos el propio Colón le enseñó a cartografiar, lo que demuestra que utilizó en sus viajes el sistema de navegación aquí expuesto. Demostrar completamente que los portulanos tienen sus raíces en la cultura islámica tomando valores tabulados de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales definido para cada punto por la latitud y la distancia a un meridiano origen es el resultado de aplicar la forma de navegar que acabo de narrar.

La segunda conclusión es que éste sistema de control de navegación no es un sistema para navegar por el Mediterráneo, allí las variaciones de latitud son del orden de la unidad y por lo tanto el navegante siempre se va a enfrentar a mediciones de ángulos pequeños con lo que resulta mucho más practico trabajar sobre cartas de navegación proyección conforme de las coordenadas de los puertos de salida y llegada lo que da aproximación suficiente navegando siempre según las direcciones de los Vientos de la Rosa. Este sistema de control es ideal para las travesías oceánicas como demuestra el Primer Viaje de Colón, ahora ya sabemos como lo pudo hacer y la ruta seguida[4], la cuestión que resta pendiente es ¿cuándo fue realizada dicha ruta por primera vez?. Insisto únicamente la ciencia Islámica estuvo en condiciones de ir, regresar, y plasmarlo en una ruta que pudiese ser seguida por otras embarcaciones, las historias de vikingos y similares no tienen ningún argumento científico que las sustente.


[1] Rey Pastor, Julio. "La Cartografía Mallorquina". Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid.1960. Pgn 2

 [2] Para demostrarlo basta definir en un punto de la esfera el triedro local de un sistema de ejes de referencia y comprobar que ninguno de los tres planos es el que contiene al paralelo.

[3] Laguarda Trías, Rolando. "La aportación científica de mallorquines y portugueses a la cartografía náutica de los siglos XIV al XVI". Instituto Histórico de Marina. Madrid.1963. Pgn 19

[4] Hurtado García, José Antonio. "La Ruta T y D". Consejería de Presidencia y Relaciones Institucionales del Gobierno de Canarias. Santa Cruz de Tenerife.1999.